おっしゃる通り、絶対に実印でなければならないのは登記上必要な書類のみ。
契約は法律上は口頭でも成立するし、そもそも印鑑を押すこと自体は契約の成立要件でもない。
ただ、実務上は登記上使用しない書類であっても、契約書などの取引上重要な書類については、
印鑑として実印を押印させ、印鑑証明書の交付を求めることが多い。
これは後々のトラブルを防ぐ為で、本人が契約を締結する意思表示をしたことを示す証拠として実印を使用させ、印鑑証明書も交付させるもの。実印・印鑑証明書は意思表示が適切に行われたことに関する証拠力が高い為。
実印以外の印鑑だと誰でも購入できるので、「偽造された」等の主張が相対的にされ易い。
たとえば、表見代理に関する判例では、実印・印鑑証明書の押印・交付を受ければ、余程のことが無い限り表見代理の成立が認められる場合が多い。
なので、後々のトラブルを避ける為の確実な対応として、
登記上使用しない場合であっても契約書等の重要書類には実印押印を求めることが多い。
もちろん、これも必須の対応という訳ではなく、より確実な手法にすぎず、
会社によってはそこまで求めないことも多い。